Bài tập 11, § 10

a) Cho E là một mở rộng tách được của một trường K có bậc hữu hạn và N là mở rộng Galois của K sinh bởi E. Nếu $a$ là một phần tử của N mà các phần tử liên hợp của nó tạo thành một cơ sở chuẩn của N trên K và nếu $\beta = \mathrm{Tr}_{N/E}(a)$, hãy chứng minh rằng $E = K(\beta)$. b) Cho N là một mở rộng Galois của K có bậc hữu hạn và $a$ là một phần tử của N mà các phần tử liên hợp của nó tạo thành một cơ sở chuẩn trên K. Nếu L là một mở rộng con của N là Galois trên K và nếu $\beta = \mathrm{Tr}_{N/L}(a)$, hãy chứng minh rằng các phần tử liên hợp của $\beta$ tạo thành một cơ sở chuẩn của L trên K. c) Cho L, M là hai mở rộng Galois của K có bậc hữu hạn, sao cho $L \cap M = K$; cho $\alpha$ (tương ứng $\beta$) là một phần tử của L (tương ứng M) mà các phần tử liên hợp của nó trên K tạo thành một cơ sở chuẩn của L (tương ứng M) trên K; hãy chứng minh rằng các phần tử liên hợp trên K của $\alpha \beta$ tạo thành một cơ sở chuẩn của $K(L \cup M)$.