Exercice 14, § 10

Soient E une extension algébrique d’un corps K, Γ le groupe des K-automorphismes de E, S ⊂ E le corps des invariants de Γ. a) Montrer que, pour que E soit quasi-galoisienne sur K, il faut et il suffit que S soit une extension radicielle de K. b) Soit S_s la plus grande extension séparable de K contenue dans S. Montrer que S_s est le plus petit des corps F tels que K ⊂ F ⊂ E et que E soit une extension quasi-galoisienne de F. c) Soit E_s la plus grande extension séparable de K contenue dans E ; montrer que E = S(E_s) (remarquer qu’aucun K-automorphisme de E autre que l’identité ne laisse invariants tous les éléments de S(E_s)).