Bài tập 14, § 10

Cho E là một mở rộng đại số của một trường K, $\Gamma$ là nhóm các K-tự đẳng cấu của E và $S \subset E$ là trường bất biến của $\Gamma$. a) Chứng minh rằng để E là quasi-Galois trên K thì điều kiện cần và đủ là S là một mở rộng căn p của K. b) Gọi $S_s$ là mở rộng tách được lớn nhất của K được chứa trong S. Chứng minh rằng $S_s$ là nhỏ nhất trong các trường F sao cho $K \subset F \subset E$ và E là một mở rộng quasi-Galois của F. c) Gọi $E_s$ là mở rộng tách được lớn nhất của K được chứa trong E ; chứng minh rằng $E = S(E_s)$ (nhận thấy rằng không có K-tự đẳng cấu nào của E ngoài đồng nhất để bất biến mọi phần tử của $S(E_s)$).