Exercice 16, § 10

Soit $a$ un entier, et soient $x_1, x_2, x_3, x_4$ les racines de $P(X) = X^4 - aX - 1$ dans une clôture algébrique de $\mathbf{Q}$. On identifie le groupe de Galois $G$ de $P$ à un groupe de permutations de $\{x_1, ..., x_4\}$. Supposons que $Q(x_1)$ ne contienne pas de sous-extension quadratique ($cf.$ exerc. 1 de V, p. 147). a) Montrer qu’on a $G = S_4$ ou $A_4$. (Utiliser l’exerc. 1 de V, p. 147 : $P$ est irréductible, donc $G$ opère transitivement ; en outre $Q(x_1)$ ne contient pas de sous-extension quadratique, donc le fixateur $H$ de $x_1$ n’est pas contenu dans un sous-groupe d’indice 2 de $G$, tandis que l’on a $[G : H] = 4$ ; en déduire que $G$ n’est pas un 2-groupe, donc son ordre est divisible par 3.) b) Soit $\delta = \prod_{1 \leq i < j \leq 4} (x_i - x_j)$ et $d = \delta^2$. Montrer qu’on a $d = 4^4 - 3^3 a^4$ ; en outre $s(\delta) = \varepsilon_s \delta$ pour tout $s \in G$. En déduire que $G = A_4$ si $\delta \in \mathbf{Q}$, et $G = S_4$ sinon. Montrer que $\delta$ n’est pas rationnel. (On a ainsi construit une famille infinie d’équations de degré 4 sur $\mathbf{Q}$ de groupe de Galois $S_4$.)