Bài tập 16, § 10

Cho a là một số nguyên và cho x₁, x₂, x₃, x₄ là các nghiệm của P(X) = X⁴ − aX − 1 trong một bao đóng đại số của Q. Ta đồng nhất nhóm Galois G của P với một nhóm các hoán vị của {x₁, ..., x₄}. Giả sử rằng Q(x₁) không chứa mở rộng con bậc hai nào (xem Bài tập 1 của V, p. 154). a) Chứng minh rằng G = S₄ hoặc A₄. (Dùng Bài tập 1 của V, p. 154: P là bất khả quy, do đó G tác động bắc cầu; hơn nữa Q(x₁) không chứa mở rộng con bậc hai nào, nên nhóm ổn định H của x₁ không được chứa trong một nhóm con có chỉ số 2 của G, trong khi [G : H] = 4; suy ra G không phải là một 2-nhóm, do đó cấp của nó chia được cho 3.) b) Đặt 6 = $\prod_{1 \leq i < j \leq 4} (x_i - x_j)$ và d = δ². Chứng minh rằng d = 4⁴ − 3³ a⁴; hơn nữa s(δ) = εₛδ với mọi s ∈ G. Suy ra rằng G = A₄ nếu δ ∈ Q, và G = G, nếu không. Chứng minh rằng 6 không hữu tỉ. (Như vậy ta đã xây dựng được một họ vô hạn các phương trình bậc 4 trên Q có nhóm Galois S₄.)