Exercice 21, § 10

Soient $f(X) = X^n + a_1 X^{n-1} + \cdots + a_n$ un polynôme de $\mathbf{Z}[X]$ et p un nombre premier. On suppose que $a_i \equiv 0(p)$, $1 \leq i \leq n$, et que $a_n \not\equiv 0(p^2)$. Montrer que $f(X)$ est irréductible dans $\mathbf{Q}[X]$. (Soit $f(X) = P(X) Q(X)$ une décomposition dans $\mathbf{Q}[X]$. Montrer que si P et Q sont unitaires, ils sont à coefficients entiers. Réduire modulo p.)