Bài tập 21, § 10

Cho $f(X) = X^n + a_1 X^{n-1} + \ldots + a_n$ là một đa thức của Z[X] và p là một số nguyên tố. Giả sử rằng $a_i \equiv 0 \pmod{p}$, $1 \leq i \leq n$ và $a_n \not\equiv 0 \pmod{p^2}$. Hãy chứng minh rằng $f(X)$ là bất khả quy trong Q[X]. (Cho $f(X) = P(X) Q(X)$ là một phân tích trong Q[X]. Hãy chứng minh rằng nếu P và Q là monic, thì chúng có các hệ số nguyên. Rút gọn modp.)