Exercice 22, § 10

Soient m un entier pair et > 0, r un entier $\geq 3$, $n_1 < \cdots < n_{r-2}$, $r - 2$ entiers pairs. On pose $g(X) = (X^2 + m)(X - n_1) \ldots (X - n_{r-2})$. a) On pose $f(X) = g(X) - 2$. Montrer que $f(X)$ possède au moins $r - 2$ racines réelles. Calculer la somme des carrés des racines de $f$ dans $\mathbf{C}$. En déduire que pour $m \geq \sum n_i^2 / 2$, $f(X)$ est un polynôme à coefficients entiers ayant $r - 2$ racines réelles et deux racines non réelles conjuguées. b) Montrer que $f(X)$ est irréductible dans $\mathbf{Q}[X]$. (Écrire $f(X) = X^r + \sum_{k=1}^r a_k X^{r-k}$; montrer que $a_k$ est pair et que $a_r$ n’est pas divisible par 4 ; appliquer l’exerc. 21.) c) Montrer que lorsque r est premier et que $m \geq \sum n_i^2 / 2$, le groupe de Galois G du corps de décomposition de $f$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_r$ (cf. V, p. 150, exerc. 17). d) Montrer que lorsque $r = 4$ et que $m \geq \sum n_i^2 / 2$, le degré sur $\mathbf{Q}$ du corps de décomposition de $f$ est égal à 8 ou 24 et qu’il est égal à 8 si et seulement si $n_1 = -n_2$ ou encore si et seulement si $f(X)$ est de la forme $P(X^2)$ où P est un polynôme de degré 2. \*