Bài tập 22, § 10

Cho m là một số nguyên chẵn > 0, r là một số nguyên $\geq 3$ và $n_1 < \ldots < n_{r-2}$, r - 2 số nguyên chẵn. Đặt $g(X) = (X^2 + m)(X - n_1) \ldots (X - n_{r-2})$. a) Đặt $f(X) = g(X) - 2$. Chứng minh rằng $f(X)$ có ít nhất $r - 2$ nghiệm thực. Tính tổng các bình phương của các nghiệm của f trong C. Suy ra rằng với $m \geq \sum n_i^2 / 2$, $f(X)$ là một đa thức với hệ số nguyên có $r - 2$ nghiệm thực và hai nghiệm liên hợp không thực. b) Chứng minh rằng $f(X)$ là bất khả quy trong $\mathbf{Q}[X]$. (Viết $f(X) = X^r + \sum_{k=1}^r a_k X^{r-k}$; chứng minh rằng $a_r$ là chẵn và $a_r$ không chia hết cho 4 ; áp dụng Bài tập 21.) c) Chứng minh rằng khi r là số nguyên tố và $m \geq \sum n_i^2 / 2$, thì nhóm Galois G của trường phân rã của f đẳng cấu với $\mathfrak{S}_r$ (x. V, p. 158, Bài tập 17). d) Chứng minh rằng khi $r = 4$ và $m \geq \sum n_i^2 / 2$, bậc trên Q của trường phân rã bằng 8 hoặc 24, và nó bằng 8 khi và chỉ khi $n_1 = -n_2$ hoặc cũng khi và chỉ khi $f(X)$ có dạng $P(X^2)$, trong đó P là một đa thức bậc 2. \*