Exercice 9, § 10

Soient K un corps de caractéristique p, $\Omega$ une extension algébriquement close de K, x un élément de $\Omega$ tel que $x \notin K$, M un élément maximal de l’ensemble des sous-extensions de $\Omega$ ne contenant pas x (V, p. 142, exerc. 9), de sorte que $\Omega$ est une extension algébrique de M (loc. cit.). a) Montrer que si M n’est pas un corps parfait, $\Omega$ est une extension radicielle de M réunion des corps $M(x^{p^{-n}})$ pour $n \geq 0$ (observer que pour tout élément $y \in \Omega$ radiciel sur M, le corps $M(y)$ contient $M(x)$; en déduire que l’on a nécessairement $[M(x) : M] = p$, puis que tout élément de $\Omega$ séparable sur M est nécessairement dans M). b) Montrer que si M est parfait, $M(x)$ est une extension galoisienne de M de degré premier q, et pour toute sous-extension N de $\Omega$ galoisienne et de degré fini sur M, le degré $[N : M]$ est une puissance de q. (Prendre pour q un nombre premier divisant $[M(x) : M]$; noter que toute extension de M distincte de M et contenue dans $\Omega$ contient $M(x)$, et utiliser l’exerc. 8, a).)