Bài tập 9, § 10

Cho K là một trường có đặc số p, $\Omega$ là một mở rộng đóng đại số của K, x là một phần tử của $\Omega$ sao cho $x \notin K$ và M là một phần tử cực đại của tập hợp các mở rộng con của $\Omega$ không chứa x (V, p. 148, Bài tập 9), do đó $\Omega$ là một mở rộng đại số của M (\emph{loc. cit.}). a) Chứng minh rằng nếu M không phải là một trường hoàn hảo thì $\Omega$ là một mở rộng p-căn của M, hợp của các trường $M(x^{p^{-n}})$ với $n \geq 0$ (hãy quan sát rằng với mọi phần tử $y \in \Omega$ p-căn trên M, trường $M(y)$ chứa $M(x)$; suy ra rằng tất yếu phải có $[M(x) : M] = p$, bởi vì mọi phần tử của $\Omega$ tách được trên M đều tất yếu nằm trong M). b) Chứng minh rằng nếu M là hoàn hảo thì $M(x)$ là một mở rộng Galois của M, có bậc nguyên tố q, và với mọi mở rộng con N của $\Omega$ là Galois có bậc hữu hạn trên M, bậc $[N : M]$ là một lũy thừa của q. (Lấy q là một số nguyên tố chia $[M(x) : M]$; chú ý rằng mọi mở rộng của M khác M và được chứa trong $\Omega$ đều chứa $M(x)$, và dùng Bài tập 8, a).)