Exercice 10, § 11

a) Soit $K$ un corps tel que sa clôture algébrique $\Omega$ soit une extension de degré premier $q$ de $K$. Montrer que $K$ est parfait, et que $q$ est nécessairement distinct de la caractéristique de $K$ (utiliser l’exerc. 9). b) Montrer que $K$ contient les racines $q$-ièmes de l’unité, et que $\Omega$ est corps de décomposition d’un polynôme irréductible $X^q - a$ de $K[X]$; en déduire que $q = 2$ (dans le cas contraire, déduire de l’exerc. 5 que le polynôme $X^{q^2} - a$ serait irréductible). Montrer en outre que $-a$ est un carré dans $K$ (loc. cit.), que $-1$ n’est pas un carré dans $K$, et en déduire que $\Omega = K(i)$ où $i^2 = -1$.