Bài tập 10, § 11

a) Cho K là một trường mà bao đóng đại số là một mở rộng bậc nguyên tố q của K. Chứng minh rằng K là hoàn hảo và q phải khác đặc số của K (dùng Bài tập 9).

b) Chứng minh rằng K chứa các căn bậc q của đơn vị và rằng $\Omega$ là trường phân rã của một đa thức bất khả quy $X^q - a$ của $K[X]$; suy ra rằng $q = 2$ (trong trường hợp ngược lại, suy ra từ Bài tập 5 rằng đa thức $X^{q^2} - a$ sẽ bất khả quy). Hơn nữa, hãy chứng minh rằng $-a$ là một bình phương trong $K$ (loc. cit.), rằng $-1$ không là một bình phương trong $K$, và suy ra rằng $\Omega = K(i)$, trong đó $i^2 = -1$.