Exercice 19, § 11

a) On admettra le théorème des nombres premiers : si $\pi(x)$ est le nombre des nombres premiers $p \leq x$, on a $\pi(x) \sim x/\log x$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. En déduire que, pour tout entier impair $m$, il existe une suite croissante de nombres premiers $p_1 < p_2 < \cdots < p_m$ tels que $p_m < p_1 + p_2$ (considérer les nombres premiers compris entre $x$ et $3x/2$). b) La suite finie de nombres premiers $p_j (1 \leq j \leq m)$ étant déterminée comme dans $a$, on pose

\* ^1 La plus grande extension totalement ramifiée du corps $\mathbf{Q}_p$ des nombres $p$-adiques dans sa clôture algébrique est un corps ayant cette propriété. \* n = p_1 p_2 \ldots p_m. Montrer que dans le polynôme cyclotomique $\Phi_n(X)$, les termes de degré $< p_m + 1$ sont les mêmes que ceux du polynôme

En déduire que le coefficient de $X^{p_m}$ dans $\Phi_n(X)$ est $1 - m$ (« Théorème de I. Schur »). \*