Bài tập 19, § 11

a) Giả sử định lý số nguyên tố; nếu $\pi(x)$ là số các số nguyên tố $p \leq x$, thì $\pi(x) = x / \log x$ khi $x$ tiến tới $+\infty$. Suy ra rằng với mọi số nguyên lẻ $m$, tồn tại một dãy tăng các số nguyên tố $p_1 < p_2 < \ldots < p_m$ sao cho $p_m < p_1 + p_2$ (xét các số nguyên tố nằm giữa $x$ và $3x/2$). b) Với dãy hữu hạn các số nguyên tố $p_j$ ($1 \leq j \leq m$) được xác định như trong a), đặt $n = p_1 p_2 \ldots p_m$. Chứng minh rằng trong đa thức cyclotomic $\Phi_n(X)$, các hạng tử bậc $< p_m + 1$ là như nhau với các hạng tử của đa thức

Suy ra rằng hệ số của $X^{p_m}$ trong $\Phi_n(X)$ là $1 - m$ (« định lý của I. Schur »).