Exercice 20, § 11

Soient $p$ un nombre premier et $G$ un groupe commutatif de $p$-torsion (VII, p. 9). a) Soit $G_i \subset G$ l’ensemble des éléments $x \in G$ tels que pour tout $l$, l’équation $p^l y = x$ admette une solution. Montrer que $G_i$ est un facteur direct de $G$. b) On suppose que l’équation $px = 0$ n’a qu’un nombre fini de solutions dans $G$. Montrer que pour tout entier $l$, le noyau $_lG$ de la multiplication par $p^l$ dans $G$ est un groupe fini et que le rang $r(l)$ du $\mathbf{Z}/p$-espace vectoriel $_lG/_{(l-1)}G$ est une fonction décroissante de $l$, donc constante pour $l > l_0$, $l_0$ assez grand. (Utiliser le théorème des diviseurs élémentaires (VII, p. 24). Montrer que $G/G_i$ est un groupe fini annulé par $p^{l_0}$.) c) On suppose de plus que $G = G_i$. Montrer que l’application $l \mapsto r(l)$ est constante. Posant $H = (\mathbf{Z}[1/p]/\mathbf{Z})^{(1)}$, montrer que pour tout $l$ il existe un isomorphisme $_lG \to _lH$ et que tout isomorphisme $_lG \to _lH$ se prolonge en un isomorphisme $_{(l+1)}G \to _{(l+1)}H$. En déduire que $G$ est isomorphe à $H$. d) Sous les hypothèses de b), montrer qu’il existe un entier $n$ et une application $i \mapsto n_i$ de $\mathbf{N} - \{0\}$ dans $\mathbf{N}$, à support fini, tels que $G$ soit isomorphe à $(\mathbf{Z}[1/p]/\mathbf{Z})^n \oplus \bigoplus_i (\mathbf{Z}/p^i\mathbf{Z})^{n_i}$.

Montrer que l’entier $n$ et l’application $i \mapsto n_i$ sont uniquement déterminés par l’application $l \mapsto \mathrm{Card}(_lG)$. \*