Bài tập 20, § 11

Cho $p$ là một số nguyên tố và $G$ là một nhóm giao hoán xoắn-$p$ (VII, p. 10). a) Cho $G_i \subset G$ là tập hợp các phần tử $x \in G$ sao cho với mỗi $I$ phương trình $p^I y = x$ có nghiệm. Chứng minh rằng $G_i$ là 2 nhân tử trực tiếp của $G$. b) Giả sử rằng phương trình $px = 0$ chỉ có một số hữu hạn nghiệm trong $G$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên $I$, hạt nhân $_iG$ của phép nhân bởi $p^I$ trong $G$ là một nhóm hữu hạn và hạng $r(l)$ của không gian vectơ $\mathbf{F}_p$ $_lG / _{(l-1)}G$ là một hàm giảm theo $I$, do đó hằng với $I > I_0$, với $I_0$ đủ lớn. (Dùng định lý các ước số sơ cấp (VII, p. 24). Chứng minh rằng $G/G_i$ là một nhóm hữu hạn bị triệt tiêu bởi $p^{l_0}$.) c) Giả sử thêm rằng $G = G_i$. Chứng minh rằng ánh xạ $l \mapsto r(l)$ là hằng. Đặt $H = (\mathbf{Z}[1/p]/\mathbf{Z})^{(1)}$, chứng minh rằng với mỗi $l$ tồn tại một đẳng cấu $_lG \to _lH$ và mọi đẳng cấu $_lG \to _lH$ đều kéo dài thành một đẳng cấu $_{(l+1)}G \to _{(l+1)}H$. Suy ra rằng $G$ đẳng cấu với $H$. d) Dưới các giả thiết của b) chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $n$ và một ứng dụng $i \to n_i$ từ $\mathbf{N} - \{0\}$ vào $\mathbf{N}$, có giá hữu hạn, sao cho $G$ đẳng cấu với $(\mathbf{Z}[1/p]/\mathbf{Z})^r \oplus \bigoplus_i (\mathbf{Z}/p^{n_i}\mathbf{Z})^{n_i}$. Chứng minh rằng số nguyên $n$ và ứng dụng $i \mapsto n_i$ được xác định duy nhất bởi ánh xạ $l \mapsto \mathrm{Card}(_lG)$.