Exercice 23, § 11

Soient $n$ et $p$ des nombres premiers impairs et distincts. a) Soit $Q \in \mathbf{F}_p[X]$ l’image du polynôme cyclotomique $\Phi_n$. Montrer que le nombre $i$ de facteurs irréductibles de $Q$ est pair si et seulement si $p$ est un carré modulo $n$. (Soit $K$ le corps de décomposition de $Q$. Montrer que $\mathrm{Gal}(K/\mathbf{F}_p)$ s’identifie au sous-groupe de $(\mathbf{F}_n)^*$ engendré par l’image de $p$. Étudier la parité du cardinal de $(\mathbf{F}_n)^*/\mathrm{Gal}(K/\mathbf{F}_p)$.) b) Montrer que le discriminant de $X^n - 1 \in \mathbf{F}_p[X]$ est

c) Montrer que $i$ est pair si et seulement si $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n$ est un carré modulo $p$ (appliquer l’exercice 22 au polynôme $X^n - 1$). d) Posons $\left( \frac{n}{p} \right) = 1$ si $n$ est un carré modulo $p$ et $\left( \frac{n}{p} \right) = -1$ sinon. Déduire de c) que