Bài tập 23, § 11

Cho $n$ và $p$ là các số nguyên tố lẻ và phân biệt. a) Cho $Q \in \mathbf{F}_p[X]$ là ảnh của đa thức cyclotomic $\Phi_n$. Chứng minh rằng số $i$ các nhân tử bất khả quy của $Q$ là chẵn khi và chỉ khi $p$ là một bình phương modulo $n$. (Cho $K$ là trường phân rã của $Q$. Chứng minh rằng $\mathrm{Gal}(K/\mathbf{F}_p)$ có thể được đồng nhất với nhóm con của $(\mathbf{F}_n)^*$ sinh bởi ảnh của $p$. Xét tính chẵn lẻ của chỉ số $((\mathbf{F}_n)^*: \mathrm{Gal}(K/\mathbf{F}_p))$.) b) Chứng minh rằng biệt thức của $X^n - 1 \in \mathbf{F}_p[X]$ là

c) Chứng minh rằng $i$ là chẵn khi và chỉ khi $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n$ là một bình phương modulo p (áp dụng Bài tập 22 cho đa thức $X^n - 1$). d) Đặt $\left( \frac{n}{p} \right) = 1$ nếu $n$ là một bình phương modulo p và $\left( \phantom{\frac{n}{p}} \right) = -1$ nếu không. Suy ra từ c) rằng