Exercice 4, § 11

Soient K un corps de caractéristique $p$, $q$ un nombre premier $\neq p$ tel que K contienne les racines $q$-ièmes de l’unité ; soit $\zeta$ une racine primitive $q$-ième de l’unité. a) Soient E une extension cyclique de K, de degré $q^e$, $\sigma$ un K-automorphisme de E engendrant $\operatorname{Gal}(E/K)$. Soit F le corps tel que $K \subset F \subset E$, de degré $q^{e-1}$ sur K ; il existe $\theta \in E$, racine d’un polynôme irréductible $X^q - \alpha$ de $F[X]$, tel que $E = F(\theta)$ et $\theta^{\sigma^m} = \zeta \theta$ (où $m = q^{e-1}$). Montrer qu’on a aussi $E = K(\theta)$ et $\theta^\sigma = \beta \theta$, où $\beta \in F$ est tel que $\alpha^{\sigma^{-1}} = \beta^q$ et $N_{F/K}(\beta) = \zeta$ (remarquer que l’on a $\theta^\sigma = \beta \theta^k$ avec $0 < k < q$ et $\beta \in F$, en vertu de l’exerc. 1 ; en calculant $\theta^{\sigma^{mq}}$, montrer que $k^{mq} - 1 \equiv 0$ (mod. $q$) et en déduire que $k = 1$). b) Inversement, soit F une extension cyclique de K de degré $q^{e-1}$ avec $e \geqslant 2$, et soit $\sigma$ un K-automorphisme de F engendrant $\operatorname{Gal}(F/K)$. S’il existe un élément $\beta \in F$ tel que $N_{F/K}(\beta) = \zeta$ et si $\alpha \in F$ est tel que $\alpha^{\sigma^{-1}} = \beta^q$, montrer que pour tout $c \in K^*$, le polynôme $X^q - c \alpha$ est irréductible dans $F[X]$. Si $\theta$ est une des racines de ce polynôme dans une clôture algébrique $\Omega$

EXERCICES

de F, montrer qu’il existe un K-homomorphisme $\overline{\sigma}$ de $E = F(\theta)$ dans $\Omega$, prolongeant $\sigma$ et tel que $\theta^{\sigma} = \beta \theta$; en déduire que E est une extension cyclique de K, de degré $q^e$, que $\overline{\sigma}$ engendre Gal(E/K) et que $E = K(\theta)$. Montrer enfin que toute extension cyclique de K, de degré $q^e$, contenant F, est corps des racines d’un polynôme $X^q - c \alpha$ de F[X], pour un $c \in K^*$ convenable (utiliser le th. 3 de V, p. 81). c) On prend pour K le corps $\mathbf{Q}$ des nombres rationnels. Le polynôme $X^2 + 1$ est irréductible dans $\mathbf{Q}[X]$; si i est une de ses racines, $F = \mathbf{Q}(i)$ est une extension cyclique de $\mathbf{Q}$ de degré 2, mais il n’existe aucune extension cyclique de $\mathbf{Q}$, de degré 4, contenant F.