Bài tập 4, § 11

Cho K là một trường có đặc số p, q là một số nguyên tố $\neq p$ sao cho K chứa các căn bậc q của đơn vị và cho $\zeta$ là một căn bậc q nguyên thủy của đơn vị. a) Cho E là một mở rộng cyclic của K bậc $q^e$ và $\sigma$ là một K-tự đẳng cấu của E sinh ra $\mathrm{Gal}(E/K)$. Cho F là trường bậc $q^{e-1}$ trên K sao cho $K \subset F \subset E$; tồn tại $0 \in E$, là một nghiệm của một đa thức bất khả quy $X^q - a$ trong $F[X]$ sao cho $E = F(0)$ và $\theta^{\sigma^m} = \zeta \theta$ (với $m = q^{e-1}$). Hãy chứng minh rằng cũng có $E = K(0)$ và $0'' = \beta \theta$ trong đó $\beta \in F$ sao cho $\alpha^{\sigma^{-1}} = \beta^q$ và $N_{F/K}(\beta) = \zeta$ (nhận thấy rằng $0'' = \beta \theta^k$ với $0 < k < q$ và $\beta \in F$, theo Bài tập 1 ; bằng cách tính $\theta^{\sigma^{mq}}$, hãy chứng minh rằng $k^{mq} - 1 \equiv 0 \pmod{q}$ và suy ra rằng $k = 1$). b) Ngược lại, cho F là một mở rộng cyclic bậc $q^{e-1}$ của K với $e \geq 2$ và cho $a$ là một K-tự đẳng cấu của F sinh ra $\mathrm{Gal}(F/K)$. Nếu tồn tại một phần tử $\beta \in F$ sao cho $N_{F/K}(\beta) = \zeta$ và nếu $\alpha \in F$ sao cho $\alpha^{\sigma^{-1}} = \beta^q$, hãy chứng minh rằng với mọi $c \in K^*$ đa thức $X^q - c \alpha$ là bất khả quy trong $F[X]$. Nếu 8 là một trong các nghiệm của đa thức này trong một bao đóng đại số $\Omega$ của F, hãy chứng minh rằng tồn tại một K-đồng cấu $\overline{\sigma}$ của $E = F(0)$ vào $\Omega$, mở rộng a và sao cho $8'' = \beta \theta$; suy ra rằng E là một mở rộng cyclic của K bậc $q^e$, rằng $\overline{\sigma}$ sinh ra $\mathrm{Gal}(E/K)$ và rằng $E = K(0)$. Cuối cùng hãy chứng minh rằng mọi mở rộng cyclic bậc $q^e$ của K, chứa F, đều là trường nghiệm của một đa thức $X^q - c \alpha$ trong $F[X]$, với một $c \in K^*$ thích hợp (dùng Định lý 3 của V, p. 85). c) Lấy K là trường Q của các số hữu tỉ. Đa thức $X^2 + 1$ là bất khả quy trong $Q[X]$; nếu i là một trong các nghiệm của nó, thì $F = Q(i)$ là một mở rộng cyclic của Q bậc 2 nhưng không tồn tại mở rộng cyclic nào bậc 4 của Q chứa F.