Exercice 5, § 11

Soient K un corps de caractéristique $p$, n un entier non multiple de $p$. Pour qu’un polynôme de K[X] de la forme $X^n - a$ soit irréductible, il faut et il suffit que, pour tout facteur premier $q$ de $n$, $a$ ne soit égal à aucune puissance $q$-ième d’un élément de K, et en outre, lorsque $n \equiv 0$ (mod. 4), que $a$ ne soit pas de la forme $-4c^4$ avec $c \in K$. (Pour démontrer que la condition est suffisante, on se ramènera au cas où $n = q^e$ avec $q$ premier, en utilisant l’exerc. 4 de V, p. 146. On raisonnera alors par récurrence sur $e$, en déterminant, grâce à l’exerc. 4 de V, p. 146, la forme du terme constant de chaque facteur irréductible de $X^{q^e} - a$.)