Exercice 6, § 11

Soient K un corps de caractéristique $p$, n un entier non multiple de $p$, N un corps de décomposition du polynôme $X^n - a$ de K[X]. a) Montrer que le groupe Gal(N/K) est isomorphe à un sous-groupe du groupe $\Gamma$ des matrices $\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, où $x \in (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^*$ et $y \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$. Si $n$ est un nombre premier, le groupe Gal(N/K) n’est commutatif que si $R_n(K) = K$ ou si $a$ est puissance $n$-ième d’un élément de K. b) Si $K = \mathbf{Q}$ et si $n$ est un nombre premier, montrer que si $a$ n’est pas puissance $n$-ième d’un nombre rationnel, Gal(N/K) est isomorphe à $\Gamma$ tout entier. c) Si $K = \mathbf{Q}$, déterminer Gal(N/K) lorsque $a$ est un entier non divisible par un carré dans $\mathbf{Z}$.