Bài tập 6, § 11

Cho K là một trường có đặc số p, n là một số nguyên không là bội của p và N là một trường phân rã của đa thức $X^n - a$ trong $K[X]$.

a) Chứng minh rằng nhóm Gal(N/K) đẳng cấu với một nhóm con của nhóm $\Gamma$ các ma trận $\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, trong đó $x \in (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^*$ và $y \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$. Nếu $n$ là một số nguyên tố, thì nhóm Gal(N/K) chỉ giao hoán khi $R_n(K) = K$ hoặc khi $a$ là lũy thừa bậc n của một phần tử của K. b) Nếu $K = \mathbf{Q}$ và nếu $n$ là một số nguyên tố, chứng minh rằng nếu $a$ không phải là lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ, thì Gal(N/K) đẳng cấu với toàn bộ $\Gamma$. c) Nếu $K = \mathbf{Q}$, hãy xác định Gal(N/K) khi $a$ là một số nguyên không có ước bình phương.