Exercice 7, § 11

Une extension E d’un corps K est dite de Kummer s’il existe un entier $n > 0$ tel que K contienne une racine primitive $n$-ième de l’unité et que E soit une extension abélienne de groupe de Galois annulé par $n$. a) Soient K un corps, N une extension galoisienne de K de degré $m$, de groupe de Galois $\Gamma$. Pour que N soit une extension de Kummer de K, il faut et il suffit qu’il existe une base $(\theta_{\sigma})_{\sigma \in \Gamma}$ de N sur K telle que les éléments $\gamma_{\sigma \tau} = \theta_{\sigma}^{-1} \theta_{\tau}$ appartiennent à K pour tout couple $(\sigma, \tau)$. (Pour voir que la condition est nécessaire, se ramener au cas où N est cyclique de degré une puissance d’un nombre premier. Pour voir qu’elle est suffisante, observer que si $\tau \in \Gamma$ est d’ordre $n$, il y a un $\sigma \in \Gamma$ tel que $\gamma_{\sigma \tau}$ soit racine primitive $n$-ième de l’unité.) b) Si $(\theta_{\sigma})_{\sigma \in \Gamma}$ est une base vérifiant la condition de a), montrer que pour qu’un élément $x = \sum_{\sigma} a_{\sigma} \theta_{\sigma}$ de N soit tel que les conjugués de x forment une base normale de N sur K, il faut et il suffit que $a_{\sigma} \neq 0$ pour tout $\sigma \in \Gamma$.