Bài tập 7, § 11

Một mở rộng E của một trường K được gọi là một mở rộng Kummer nếu tồn tại một số nguyên $n > 0$ sao cho K chứa một nghiệm nguyên thủy bậc n của đơn vị và E là một mở rộng Abel với nhóm Galois bị triệt tiêu bởi n. a) Cho K là một trường và N là một mở rộng Galois bậc m của K với nhóm Galois $\Gamma$. Để N là một mở rộng Kummer của K, điều kiện cần và đủ là phải tồn tại một cơ sở $(\theta_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}$ của N trên K sao cho các phần tử $\gamma_{\sigma \tau} = \theta_\sigma^{1-\tau}$ thuộc K với mỗi cặp $(\sigma, \tau)$. (Đối với tính cần của điều kiện, rút gọn về trường hợp N là cyclic có bậc là một lũy thừa của số nguyên tố. Đối với tính đủ, nhận thấy rằng nếu $\tau \in \Gamma$ có cấp $n$, thì tồn tại $\sigma \in \Gamma$ sao cho $\gamma_{\sigma \tau}$ là một nghiệm nguyên thủy bậc n của đơn vị.) b) Nếu $(\theta_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}$ là một cơ sở thỏa mãn điều kiện a), hãy chứng minh rằng để một phần tử $x = \sum \sigma a_\sigma \theta_\sigma$ của N có tính chất là các liên hợp của x tạo thành một cơ sở chuẩn tắc của N trên K, điều kiện cần và đủ là $a_\sigma \neq 0$ với mọi $\sigma \in \Gamma$.