Exercice 8, § 11

Soit N une extension de Kummer d’un corps K. a) Soit E une sous-extension de N telle que [E : K] = q soit premier. Montrer qu’il existe une décomposition $N = N_1 \otimes N_2 \otimes \ldots \otimes N_r$ de N en extensions cycliques de K telle que $E \subset N_j$ pour un indice j. b) Déduire de a) que si $x \in N$ est tel que les conjugués de x sur K forment une base normale de N sur K, alors, pour tout corps E tel que $K \subset E \subset N$, les conjugués de x sur E forment une base normale de N sur E (se ramener au cas où [E : K] est premier et utiliser l’exerc. 7, b)). \*