Exercice 1, § 12

a)** Soit $q$ une puissance d’un nombre premier. Montrer que, pour tout entier $n > 1$, si $h_i$ ($1 \leq i \leq r$) sont les diviseurs premiers distincts de l’entier $n$, le nombre des éléments $\zeta \in \mathbf{F}_{q^n}$ tels que $\mathbf{F}_{q^n} = \mathbf{F}_q(\zeta)$ est égal à

(remarquer qu’un tel élément est caractérisé par la propriété de n’appartenir à aucun des corps $\mathbf{F}_{q^{n/h_i}}$). On a, si $h_1 \leq \cdots \leq h_r$, Cas où $n$ est une puissance d’un nombre premier. b) Soit $b_n(q)$ le nombre des polynômes unitaires irréductibles de degré $n$ sur $\mathbf{F}_q$. Déduire de a) une expression de $b_n(q)$. En particulier, si $q \geq 3$, montrer que le nombre des polynômes (non nécessairement unitaires) de degré $n$ de $\mathbf{F}_q[X]$ qui sont irréductibles est au moins égal à $q^n(q-2)/n \geq q^{n+1}/3n$. c) Prouver que $\sum_{d|n} db_d(q) = q^n$ (on démontrera l’identité $1/(1-qT)^{-1} = \prod (1-T^n)^{-b_n(q)}$). \* Utilisant la formule d’inversion de Möbius (LIE, II, p. 71, Appendice), montrer que Comparer ce résultat avec celui obtenu en b). d) Soit $a_n(q)$ le nombre des polynômes unitaires de degré $n$ et sans facteurs multiples dans $\mathbf{F}_q[X]$. Montrer que $a_0(q) = 1,\ a_1(q) = q,\ a_n(q) = q^n - q^{n-1}$ pour $n > 1$ (on démontrera l’identité $q^n = \sum_i a_{n-2i}(q)\ q^i$).