Bài tập 1, § 12

a) Cho $q$ là một lũy thừa của một số nguyên tố. Hãy chứng minh rằng với mọi số nguyên $n > 1$, nếu $h_i$ ($1 \leq i \leq r$) là các ước nguyên tố phân biệt của số nguyên $n$, thì số phần tử $\zeta \in \mathbf{F}_{q^n}$ sao cho $\mathbf{F}_{q^n} = \mathbf{F}_q(\zeta)$ bằng

(hãy lưu ý rằng một phần tử như vậy được đặc trưng bởi tính chất không thuộc bất kỳ trường nào trong các trường $\mathbf{F}_{q^{n/h_i}}$). Nếu $h_1 \leq \ldots \leq h_r$, ta có Hãy xét trường hợp $n$ là một lũy thừa nguyên tố. b) Gọi $b_n(q)$ là số các đa thức bất khả quy đơn nhất bậc $n$ trên $\mathbf{F}_q$. Từ a), hãy suy ra một biểu thức của $b_n(q)$. Đặc biệt, nếu $q \geq 3$, hãy chứng minh rằng số các đa thức (không nhất thiết đơn nhất) bậc $n$ trong $\mathbf{F}_q[X]$ mà bất khả quy thì ít nhất bằng $q^n(q-2)/n \geq q^{n+1}/3n$. c) Hãy chứng minh rằng $\sum_{d|n} d b_d(q) = q^n$ (thiết lập đẳng thức $1/(1-qT) = \prod (1-T^n)^{-b_n(q)}$). \* Dùng công thức đảo Mobius (Lie, II, p. 176, Phụ lục), hãy chứng minh rằng Hãy so sánh kết quả này với kết quả thu được trong b). d) Gọi $a_n(q)$ là số các đa thức đơn nhất không có nhân tử bội trong $\mathbf{F}_q[X]$. Hãy chứng minh rằng $a_0(q) = 1,\ a_1(q) = q,\ a_n(q) = q^n - q^{n-1}$ với $n > 1$ (thiết lập đẳng thức $q^n = \sum a_{n-2i}(q)\ q^i$).