Exercice 13, § 12

Soient $p_1, p_2, \ldots, p_m$ des nombres premiers impairs distincts, et $P = p_1 p_2 \ldots p_m$ ($m \geq 3$). a) Étant donné un entier $n \geq 1$, soit E l’ensemble des polynômes de $\mathbf{Z}[X]$ de degré $\leq n$, dont les coefficients appartiennent à l’intervalle $[0, P[$ de $\mathbf{N}$; on a donc $\mathrm{Card}(E) = P^{n+1}$. Soit k un nombre tel que $0 < k < 1/3n$; montrer que parmi les polynômes $f \in E$, il y en a au moins $k^m P^{n+1}$ tels que pour tout indice $j$ tel que $1 \leq j \leq m$, l’image canonique $f_j$ de $f$ dans $F_{p_j}[X]$ soit de degré $n$ et irréductible (utiliser l’exerc. 1, b)). On suppose de plus que $k < \frac{1}{18(n-2)}$ et $n > 2$; en raisonnant de la même façon et en utilisant le critère de Dedekind (exerc. 12), montrer qu’il y a un ensemble de polynômes $f \in E$, de cardinal au moins égal à $(1 - 3(1 - k)^m) P^{n+1}$ qui sont de degré $n$, irréductibles et dont le groupe de Galois sur $\mathbf{Q}$ soit isomorphe à $\mathfrak{S}_n$.

b) Pour tout entier $N$, soit $L_{n,N}$ l’ensemble des polynômes de $\mathbf{Z}[X]$ de degré $\leq n$, dont les coefficients appartiennent à l’intervalle $[-N, N]$; on a donc $\mathrm{Card}(L_{n,N}) = (2N + 1)^{n+1}$. L’entier $n$ étant fixé, montrer que pour tout $\varepsilon$ tel que $0 < \varepsilon < 1$, il existe un entier $N_0$ tel que, pour $N \geq N_0$, parmi les polynômes $f \in L_{n,N}$, il y en a au moins $(1 - \varepsilon) (2N + 1)^{n+1}$ qui sont irréductibles, de degré $n$, et dont le groupe de Galois sur $\mathbf{Q}$ soit isomorphe à $\mathfrak{S}_n$ (utiliser $a$).