Bài tập 13, § 12

Cho $p_1, p_2, \ldots, p_m$ là các số nguyên tố lẻ phân biệt và $P = p_1 p_2 \ldots p_m$ ($m \geq 3$). a) Cho một số nguyên $n \geq 1$, gọi E là tập hợp các đa thức trong $\mathbf{Z}[X]$ có bậc $\leq n$, mà các hệ số nằm trong khoảng (0, P[ of N : do đó ta có $\mathrm{Card}(E) = P^{n+1}$. Cho k là một số sao cho $0 < k < 1/3n$; chứng minh rằng trong các đa thức $f \in E$ có ít nhất $k^{m} P^{n+1}$ đa thức sao cho với mọi chỉ số $j$ sao cho $1 \leq j \leq m$, ảnh chính tắc $f_j$ của $f$ trong $F_{p_j}[X]$ có bậc $n$ và bất khả quy (dùng Bài tập 1, b)). Giả sử hơn nữa rằng $k < \frac{1}{18(n-2)}$ và $n > 2$; lập luận theo cùng cách và dùng tiêu chuẩn của Dedekind (Bài tập 12) để chứng minh rằng tồn tại một tập hợp các đa thức $f \in E$, có lực lượng ít nhất bằng $(1 - 3(1-k)^m)P^{n+1}$, có bậc $n$, bất khả quy và có nhóm Galois trên $\mathbf{Q}$ đẳng cấu với $\mathscr{G}_s$. b) Với mọi số nguyên $N$ gọi $L_{n,N}$ là tập hợp các đa thức của $\mathbf{Z}[X]$ có bậc $\leq n$, mà các hệ số thuộc khoảng $(-N, N)$; do đó ta có $\mathrm{Card}(L_{n,N}) = (2N+1)^{n+1}$. Với số nguyên $n$ cố định, chứng minh rằng với mọi $\varepsilon$ sao cho $0 < \varepsilon < 1$, tồn tại một số nguyên $N_0$ sao cho với $N \geq N_0$, trong các đa thức $f \in L_{n,N}$ có ít nhất $(1-\varepsilon)(2N+1)^{n+1}$ đa thức bất khả quy bậc $n$, và có nhóm Galois trên $\mathbf{Q}$ đẳng cấu với $\mathfrak{S}_n$ (dùng a)).