Exercice 3, § 12

Soit $K$ un corps fini à $q$ éléments ; pour tout nombre premier $l$, soit $N_l$ la réunion des extensions de $K$ (contenues dans une clôture algébrique $\Omega$ de $K$) dont le degré est une puissance de $l$. Montrer que $N_l$ est une extension abélienne de $K$, dont le groupe de Galois est isomorphe au groupe $\mathbf{Z}_l$ des entiers $l$-adiques. En déduire que $\Omega$ est isomorphe au produit tensoriel $\bigotimes_l N_l$, et par suite $\mathrm{Gal}(\Omega/K)$ isomorphe au produit $\prod_l \mathbf{Z}_l$.