Exercice 6, § 12

Soit $K$ un corps fini à $q$ éléments, où $q$ n’est pas une puissance de 2. a) Soient $a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_{2m},\ b$ des éléments de $K$ tels que $a_1 a_2 \ldots a_{2m} \neq 0$. Montrer que le nombre $\nu$ des solutions $(x_1,\ \ldots,\ x_{2m}) \in K^{2m}$ de l’équation $a_1 x_1^2 + \cdots + a_{2m} x_{2m}^2 = b$ est donné par les formules suivantes : 1° si $b = 0$ et si $(-1)^m a_1 a_2 \ldots a_{2m}$ n’est pas un carré dans $K$, $v = q^{2m-1} - q^m + q^{m-1}$; 2° si $b \neq 0$ et si $(-1)^m a_1 a_2 \ldots a_{2m}$ n’est pas un carré dans $K$, $v = q^{2m-1} + q^{m-1}$; 3° si $b = 0$ et si $(-1)^m a_1 a_2 \ldots a_{2m}$ est un carré dans $K$, $v = q^{2m-1} + q^m - q^{m-1}$; 4° si $b \neq 0$ et si $(-1)^m a_1 a_2 \ldots a_{2m}$ est un carré dans $K$, $v = q^{2m-1} - q^{m-1}$. (Raisonner par récurrence sur $m$, en utilisant l’exerc. 5.) b) Soient $a_1, a_2, \ldots, a_{2m+1}, b$ des éléments de $K$ tels que $a_1 a_2 \ldots a_{2m+1} \neq 0$. Montrer que le nombre $v$ des solutions $(x_1, x_2, \ldots, x_{2m+1}) \in K^{2m+1}$ de l’équation

est donné par les formules suivantes : 1° si $b = 0$, $v = q^{2m}$; 2° si $b \neq 0$ et si $(-1)^m a_1 a_2 \ldots a_{2m+1} b$ n’est pas un carré dans $K$, $v = q^{2m} - q^m$; 3° si $b \neq 0$ et si $(-1)^m a_1 a_2 \ldots a_{2m+1} b$ est un carré dans $K$, $v = q^{2m} + q^m$. (Se ramener au cas $a$.)