Bài tập 6, § 12

Cho K là một trường hữu hạn có q phần tử, trong đó q không phải là một lũy thừa của 2. a) Cho a,, a,, ..., a,, b là các phần tử của K sao cho $a_1a_2 ... a_n \neq 0$. Chứng minh rằng số $\nu$ các nghiệm $(x_1, ..., x_n) \in K^{2m}$ của phương trình $a_1x_1^2 + \cdots + a_{2m}x_{2m}^2 = b$ được cho bởi các công thức sau : 1" nếu $b = 0$ và $(-1)^ma_1a_2 ... a_n$ không là một bình phương trong K, $\nu = q^{2m-1} - q^m + q^{m-1}$; 2" nếu $b \neq 0$ và $(-1)^ma_1a_2 ... a_n$ không là một bình phương trong K, $\nu = q^{2m-1} + q^{m-1}$; 3" nếu $b = 0$ và $(-1)^ma_1a_2 ... a_n$ là một bình phương trong K, $\nu = q^{2m-1} + q^m - q^m$; 4" nếu $b \neq 0$ và $(-1)^ma_1a_2 ... a_n$ là một bình phương trong K, $\nu = q^{2m-1} - q^{m-1}$. (Lập luận bằng quy nạp theo m, dùng Bài tập 5.) b) Cho a,, a,, ..., a,+,, b là các phần tử của K sao cho $a_1a_2 ... a_{+} \neq 0$. Chứng minh rằng số $\nu$ các nghiệm $(x_1, x_2, ..., x_{2m-1}) \in K^{2m+1}$ của phương trình

được cho bởi các công thức sau : 1" nếu $b = 0$, $\nu = q^{2m}$; 2" nếu $b \neq 0$ và $(-1)^ma_1a_2 ... a_{2m-1}b$ không là một bình phương trong K, $\nu = q^{2m} - q^m$; 3" nếu $b \neq 0$ và $(-1)^ma_1a_2 ... a_{2m+1}b$ là một bình phương trong K, $\nu = q^{2m} + q^m$. (Rút gọn về trường hợp a.).