Exercice 7, § 12

Soient $K$ un corps fini, $E$ une extension algébrique de $K$ de degré $n$, $(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ une base normale de $E$ sur $K$; on peut supposer que le groupe cyclique $\mathrm{Gal}(E/K)$ est engendré par la permutation circulaire $\sigma = (\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n)$. Soit $\tau$ un automorphisme du $K$-espace vectoriel $E$ tel que pour tout $x \in E$, $\tau(x)$ soit conjugué de $x$ sur $K$ (cf. V, p. 147, exerc. 8). a) Montrer que si $K$ a au moins 3 éléments, $\tau$ est un $K$-automorphisme du corps $E$ (se ramener au cas où $\tau(\alpha_1) = \alpha_1$ et considérer $\tau(\alpha_1 + c \alpha_j)$ pour $c \in K$). b) Si $K = \mathbf{F}_2$, montrer que pour tout élément $\rho \in \mathrm{Gal}(E/K)$, les relations $\rho(\alpha_r) = \alpha_{r'}$ et $\rho(\alpha_s) = \alpha_{s'}$ entraînent $r' - r \equiv s' - s \pmod{n}$. En déduire que si $n > 5$, $\tau$ est un $K$-automorphisme du corps $E$. (Noter que si $\tau(\alpha_1) = \alpha_1$ et $\tau(\alpha_1 + \alpha_h) = \alpha_1 + \alpha_k$ avec $k \neq h$, on a nécessairement $h + k = n + 2$; déduire de là qu’on doit nécessairement avoir $\tau(\alpha_2) = \alpha_n$ et $\tau(\alpha_4) = \alpha_4$ ou $\tau(\alpha_4) = \alpha_{n-2}$, ce qui amène à une contradiction.) c) Pour $K = \mathbf{F}_2$ et $3 \leq n \leq 5$, les automorphismes suivants du $K$-espace vectoriel $E$ ne sont pas des automorphismes du corps $E$ : pour $n = 3$, $\tau : (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \mapsto (\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2)$ pour $n = 4$, $\tau : (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) \mapsto (\alpha_1, \alpha_4, \alpha_3, \alpha_2)$ pour $n = 5$, $\tau : (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5) \mapsto (\alpha_1, \alpha_5, \alpha_4, \alpha_3, \alpha_2)$ mais sont tels que $\tau(x)$ soit conjugué de $x$ pour tout $x \in E$.