Exercice 8, § 12

Algèbre, V, p. 158

Soient $K$ un corps fini à $q$ éléments, et

P(X) = a_0 + a_1 X + \cdots + a_{q-2} X^{q-2}

un polynôme de

K[X]

de degré

q - 2

. Soit

r

le rang de la matrice d’ordre

q - 1

A = \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \ldots & a_{q-2} \\ a_1 & a_2 & \ldots & a_0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{q-2} & a_0 & \ldots & a_{q-3} \end{pmatrix}.

Montrer que le nombre des racines distinctes de

P

dans

K

, autres que 0, est égal à

q - 1 - r

. (Considérer le produit

VA

, où

V

est la matrice de Vandermonde des éléments

x_1, x_2, \ldots, x_{q-1}

de

K^*

.)

Solution

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