Bài tập 8, § 12

. (a) Chứng minh rằng nếu K có ít nhất 3 phần tử, $\tau$ là một tự đẳng cấu K của trường E (rút gọn về trường hợp $\tau(\alpha_1) = \alpha_1$ và xét $\tau(a, + c\alpha_i)$ với $c \in K$).

(b) Nếu $K = F_2$, chứng minh rằng với mỗi phần tử $\rho \in \mathrm{Gal}(E/K)$, các quan hệ $\rho(\alpha_r) = \alpha_r$, và $\rho(\alpha_s) = \alpha_s'$ suy ra $r' - r \equiv s' - s \pmod{n}$. Suy ra rằng nếu $n > 5$, $\tau$ là một tự đẳng cấu K của trường E. (Chú ý rằng nếu $\tau(\alpha_1) = a$, và $\tau(\alpha_1 + \alpha_h) = a_+ + \alpha_k$ với $k \neq h$, ta phải có $h + k = n + 2$; suy ra từ đó rằng nhất thiết $\tau(\alpha_2) = \alpha_n$ và $\tau(\alpha_4) = \alpha_4$ hoặc $\tau(\alpha_4) = \alpha_{n-2}$ điều này dẫn đến một mâu thuẫn.) (c) Với $K = F_2$ và $3 \leq n \leq 5$, các tự đẳng cấu sau đây của không gian vectơ K E không phải là các tự đẳng cấu trường của E:

với $n = 3, \tau : (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \mapsto (\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2)$ với $n = 4, \tau : (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) \mapsto (\alpha_1, \alpha_4, \alpha_3, \alpha_2)$ với $n = 5, \tau : (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5) \mapsto (\alpha_1, \alpha_5, \alpha_4, \alpha_3, \alpha_2)$

nhưng có tính chất là $\tau(x)$ liên hợp với x với mọi $x \in E$.

8) Cho K là một trường hữu hạn gồm q phần tử và

là một đa thức của $K[X]$ có bậc $q-2$. Gọi r là hạng của ma trận

Chứng minh rằng số các nghiệm phân biệt của P trong K, khác 0, là $q-1-r$. (Xét tích VA, trong đó V là ma trận Vandermonde của các phần tử $x_1, x_2, \ldots, x_{q-1}$ của $K^*$.)