Exercice 5, § 13

Soient K un corps, E une extension algébrique de K, de degré fini. a) On suppose que K est de caractéristique p > 0. Montrer que si le degré d’imperfection de E sur K (exerc. 1) est > 1, il existe une infinité de corps distincts F tels que K ⊂ F ⊂ E (se ramener au cas où K(Ep) = K, et considérer les corps K(a + λb), où la partie {a, b} est p-libre sur K et λ ∈ K). b) Conclure que, pour qu’il n’existe qu’un nombre fini de corps F tels que K ⊂ F ⊂ E, il faut et il suffit que le degré d’imperfection de E sur K soit ≤ 1.