Exercice 6, § 13

Soient K un corps de caractéristique p > 0, E une extension algébrique de K, de degré fini, N l’extension quasi-galoisienne de K engendrée par E. a) Soient Er et Es (resp. Nr et Ns) la plus grande extension radicielle et la plus grande extension séparable de K contenues dans E (resp. dans N). Montrer que pour que E = Er(Es) (auquel cas E est isomorphe à Es ⊗K Er), il faut et il suffit que Er = Nr. b) Si le degré d’imperfection de E sur K est égal à 1, une condition nécessaire et suffisante pour que E = Er(Es), est que le degré d’imperfection de N sur K soit égal à 1. En déduire que si N est une extension quasi-galoisienne de K, dont le degré d’imperfection sur K est égal à 1, on a E = Er(Es) pour toute sous-extension E de N (cf. exerc. 2, b)). c) Inversement, si N est une extension quasi-galoisienne de K de degré fini, dont le degré d’imperfection sur K est > 1, montrer que si Nr ≠ N, il existe t ∈ N tel que pour l’extension E = K(t) de K, on ait E ≠ Er(Es) (si a, b sont deux éléments d’une p-base de N sur K(Np) et si x ∈ N est séparable sur K et x ∉ K, prendre t = a + bx).