Bài tập 6, § 13

Cho K là một trường có đặc số $p > 0$, E là một mở rộng đại số của K có bậc hữu hạn và N là mở rộng giả-Galois của K sinh bởi E. a) Gọi E, và E, (tương ứng N, và N,) là mở rộng p-căn lớn nhất và mở rộng tách được lớn nhất của K được chứa trong E (tương ứng trong N). Hãy chỉ ra rằng để có $E = E_r(E_s)$ (khi đó E đẳng cấu với $E_s \otimes_K E_r$) thì điều kiện cần và đủ là $E_r = N_r$. b) Nếu bậc không hoàn thiện của E trên K bằng 1, thì điều kiện cần và đủ để có $E = E_r(E_s)$ là bậc không hoàn thiện của N trên K bằng 1. Suy ra rằng nếu N là một mở rộng giả-Galois của K, mà bậc không hoàn thiện trên K bằng 1, thì $E = E_r(E_s)$ với mọi mở rộng con E của N (xem Bài tập 2, b)). c) Ngược lại, nếu N là một mở rộng giả-Galois của K có bậc hữu hạn mà bậc không hoàn thiện trên K là $> 1$, hãy chỉ ra rằng nếu $N_r \neq N$, thì tồn tại $t \in N$ sao cho đối với mở rộng $E = K(t)$ của K ta có $E \neq E_r(E_s)$ (nếu a, b là hai phần tử của một p-cơ sở của N trên $K(N^p)$ và nếu $x \in N$ là tách được trên K và $x \notin K$, lấy $t = a + bx$).