Exercice 17, § 14

Soient $K$ un corps, $\Omega$ une extension algébriquement close de $K$, $x$ un élément de $\Omega$ transcendant sur $K$. Montrer que pour tout nombre premier $q$, il existe une sous-extension $M$ de $\Omega$ telle que $M(x)$ soit une extension galoisienne de $M$ de degré $q$. (Considérer l’élément $y = x^q$ si $q$ n’est pas la caractéristique de $K$, $y = x^q - x$ dans le cas contraire, et une sous-extension $L$ de $\Omega$ engendrée par une base de transcendance de $\Omega$ sur $K$ contenant $y$, et en outre par les racines $q$-ièmes de l’unité si $y = x^q$; utiliser l’exerc. 12 de V, p. 154.)