Exercice 19, § 14

Soient $E$ et $F$ deux extensions transcendantes d’un corps $K$, linéairement disjointes sur $K$. Montrer que $K(E \cup F)$ est distinct de l’anneau $C$ (isomorphe à $E \otimes_K F$) engendré par $E \cup F$. (Se ramener au cas où les degrés de transcendance de $E$ et $F$ sur $K$ sont égaux à 1 ; si $x \in E$ et $y \in F$ sont transcendants sur $K$, montrer qu’on ne peut avoir $(x + y)^{-1} \in C$; raisonner par l’absurde, en montrant que dans le cas contraire, si $p$ est l’exposant caractéristique de $K$, il existerait un entier $r \geq 0$ tel que $(x + y)^{-p^r}$ appartiendrait au sous-anneau de $C$ engendré par $K(x) \cup K(y)$.)