Exercice 10, § 15

Soit $E$ une extension d’un corps $K$. Soit $G$ un sous-groupe compact du groupe topologique $\mathrm{Aut}_K(E)$, et soit $F$ le corps des invariants de $G$. Montrer que $E$ est une extension galoisienne de $F$ et que $G$ est canoniquement isomorphe au groupe topologique $\mathrm{Aut}_F(E)$. (Observer que $G$ opère continûment sur l’espace discret $E$ pour établir qu’un élément $x \in E$ a une orbite finie pour l’action de $G$.)