Exercice 11, § 15

Soit $K$ un corps de caractéristique $p > 0$. Pour toute $K$-algèbre commutative $A$, l’élévation à la puissance $p$-ième fait de l’anneau $A$ une $A$-algèbre et donc aussi une $K$-algèbre qu’on notera $A^{p^{-1}}$. Soit $A$ une $K$-algèbre commutative. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) $A$ est une $K$-algèbre séparable. (ii) L’unique $K$-homomorphisme $\Phi : A \otimes_K K^{p^{-1}} \to A^{p^{-1}}$ tel que $\Phi(a \otimes \lambda) = a^p \cdot \lambda$ ($a \in A, \lambda \in K$) est injectif. (iii) Pour toute famille $(b_i)_{i \in I}$ de $K$ linéairement libre sur $K^p$, et toute famille $(a_i)_{i \in I}$ de $A$, l’égalité $\sum_i a_i^p b_i = 0$ entraîne $a_i = 0$ pour tout $i$. (On vérifiera que (ii) $\Leftrightarrow$ (iii) et que (ii) est une conséquence de V, p. 117, th. 2, e).)