Bài tập 11, § 15

Cho K là một trường có đặc số $p > 0$. Với mọi đại số giao hoán trên K A, phép nâng lên lũy thừa bậc p làm cho vành A trở thành một đại số trên A, do đó cũng là một đại số trên K được ký hiệu bởi $A^p$^1. Cho A là một đại số giao hoán trên K. Hãy chỉ ra rằng các điều kiện sau là tương đương : (i) A là một đại số tách được trên K. (ii) K-đồng cấu duy nhất $\Phi : A \otimes_K K^{p^{-1}} \to A^{p^{-1}}$ sao cho $\Phi(a \otimes A) = a^p \cdot \lambda$ ($a \in A, \lambda \in K$) là đơn ánh. (iii) Với mọi họ (b,,),,, của K độc lập tuyến tính trên $K^p$ và mọi họ $(a_i)_{i \in I}$ của A, đẳng thức $\sum a_i^p b_i = 0$ kéo theo $a_i = 0$ với mọi i.

(Có thể kiểm tra rằng (ii) $\Leftrightarrow$ (iii) và rằng (ii) là một hệ quả của V, p. 123, Định lý 2, e).)