Exercice 12, § 15

Soient $K$ un corps et $(X_i)_{i \in I}$ une famille d’indéterminées. Montrer que l’algèbre de séries formelles $K[[\{X_i\}_{i \in I}]]$ est une $K$-algèbre séparable. (Appliquer l’exerc. 11 ; on pourra aussi vérifier que pour toute extension finie $K'$ de $K$, $K[[\{X_i\}_{i \in I}]] \otimes_K K'$ est isomorphe à $K'[[\{X_i\}_{i \in I}]]$ et appliquer le th. 2, d) de V, p. 117.) En déduire que le corps des fractions de $K[[\{X_i\}_{i \in I}]]$ est une extension séparable de $K$ (V, p. 115, prop. 4).