Exercice 1, § 16

Soient $K$ un corps de caractéristique $p > 0$, $E$ une extension séparable de $K$, de degré de transcendance fini sur $K$. a) S’il existe une base de transcendance $B_0$ de $E$ sur $K$ et un entier $m \geqslant 0$ tel que $K(E^{p^m})$ soit séparable sur $K(B_0)$, montrer que pour toute base de transcendance $B$ de $E$ sur $K$, il existe un entier $n \geqslant 0$ tel que $K(E^{p^n})$ soit séparable sur $K(B)$. b) En déduire que si la condition de a) est vérifiée, $E$ admet une base de transcendance séparante sur $K$ (si $S$ est une $p$-base de $E$ sur $K(E^p)$, $B$ une base de transcendance de $E$ sur $K$ contenant $S$ (V, p. 165, exerc. 6), montrer que $B$ est une base de transcendance séparante de $E$ sur $K$, en utilisant l’exerc. 6 de V, p. 165). c) Soient $K$ un corps de caractéristique $p > 0$, et $x$ un élément transcendant sur $K$ (dans une extension algébriquement close $\Omega$ de $K$). Montrer que la réunion $E$ des extensions $K(x^{p^{-n}})$ de $K$ est une extension séparable de $K$, telle que $\deg.\mathrm{tr}_K E = 1$, mais qui n’admet pas de base de transcendance séparante sur $K$. d) Soit $K$ un corps parfait. Montrer que la clôture parfaite du corps des fractions rationnelles $K(T)$ est une extension de $K$ de degré de transcendance 1 qui n’admet pas de base de transcendance séparante.