Bài tập 1, § 16

Cho K là một trường có đặc số $p > 0$, E là một mở rộng tách được của K, có bậc siêu việt hữu hạn trên K. a) Nếu tồn tại một cơ sở siêu việt $B_0$ của E trên K và một số nguyên $m \geq 0$ sao cho $K(E^{p^m})$ tách được trên $K(B_0)$, hãy chứng minh rằng với mọi cơ sở siêu việt B của E trên K, tồn tại một số nguyên $n \geq 0$ sao cho $K(E^{p^n})$ tách được trên $K(B)$. b) Suy ra rằng nếu điều kiện trong a) được thỏa mãn, thì E thừa nhận một cơ sở siêu việt tách được trên K (nếu S là một p-cơ sở của E trên $K(E^p)$ và B là một cơ sở siêu việt của E trên K chứa S (V, p. 176, Bài tập 6), hãy chứng minh rằng B là một cơ sở siêu việt tách được của E trên K, bằng cách dùng Bài tập 6 của V, p. 176). c) Cho K là một trường có đặc số $p > 0$ và x là một phần tử siêu việt trên K (trong một mở rộng đóng đại số $\Omega$ của K). Hãy chứng minh rằng hợp E của các mở rộng $K(x^{p^{-n}})$ của K là một mở rộng tách được của K sao cho $\mathrm{tr.}\deg_K E = 1$ nhưng không thừa nhận một cơ sở siêu việt tách được. d) Cho K là một trường hoàn hảo. Hãy chứng minh rằng bao đóng hoàn hảo của trường phân thức hữu tỉ $K(T)$ là một mở rộng của K có bậc siêu việt bằng 1 mà không thừa nhận một cơ sở siêu việt tách được.