Exercice 5, § 16

a) Soient K un corps de caractéristique $p > 0$, E une extension de K admettant une base de transcendance séparante sur K. Montrer que l’intersection L des corps $K(E^{p^n})$, où $n$ parcourt $\mathbf{N}$, est une extension algébrique de K. (Considérer d’abord le cas où deg.tr_K E < +∞ ; montrer que L est relativement parfait sur K, donc E séparable sur L et utiliser les exerc. 2 et 6 de V, p. 165. Dans le cas général, si B est une base de transcendance séparante de E sur K, pour tout $x \in L$, il y a une partie finie $B_0$ de B telle que le polynôme minimal de x sur chacun des $K(B_0^{p^n})$ soit le même que son polynôme minimal sur K(B) et en déduire que si $F = K(B_0)$ (x), on a $x \in K(F^{p^n})$ pour tout $n$.) b) Montrer que le plus grand corps parfait $E^{p^\infty}$ (intersection des $E^{p^n}$) contenu dans E est une extension algébrique de $K^{p^\infty}$ (utiliser a) et l’exerc. 8 de V, p. 165). Donner un exemple où E est une extension de type fini d’un corps parfait K, mais $E^{p^\infty}$ n’est pas contenu dans K.