Bài tập 5, § 16

a) Cho K là một trường có đặc số $p > 0$ và E là một mở rộng của K nhận một cơ sở siêu việt tách được trên K. Chứng minh rằng giao L của các trường $K(E^{p^n})$, khi $n$ chạy qua N, là một mở rộng đại số của K. (Trước hết hãy xét trường hợp $\operatorname{tr. deg}_K E < +\infty$; chứng minh rằng L là hoàn hảo tương đối trên K, do đó E tách được trên L. Bây giờ dùng Bài tập 2 và Bài tập 6 của V, p. 176. Trong trường hợp tổng quát, nếu B là một cơ sở siêu việt tách được của E trên K, thì với mỗi $x \in L$, tồn tại một tập con hữu hạn B_0 của B sao cho đa thức tối tiểu của $x$ trên mỗi trường $K(B_0^{p^n})$ là cùng một đa thức với đa thức tối tiểu của nó trên $K(B)$; bây giờ suy ra rằng nếu $F = K(B_0)(x)$, thì $x \in K(F^{p^n})$ với mọi n.) b) Chứng minh rằng trường hoàn hảo lớn nhất $E^{p^\infty}$ (giao của các $E^{p^n}$) được chứa trong E là một mở rộng đại số của $K^{p^\infty}$ (dùng a) và Bài tập 8 của V, p. 176). Cho một ví dụ trong đó E là một mở rộng sinh hữu hạn của một trường hoàn hảo K nhưng $E^{p^\infty}$ không được chứa trong K.